貓咪一直要跑出去，會回來但會帶東西回來，困擾 - 狗

我跟家人同住，家裡養了一隻撿來的米克斯公貓，養到現在經過約7個月，牠現在約一歲。牠活潑好動好奇心強，一直想要跑出去玩擋都擋不住，重點是牠已經結紮了。以下敘述有點長，不好意思我真的很困擾。
跑出去玩只在附近活動，大約玩個幾個小時還會回來我們家，但是回來只不過是要討吃跟睡覺，睡飽吃足就又要出去。
最近牠連續把在外面抓到的獵物帶回家裡，第一次是大蛾，之後連帶兩隻老鼠回來，我媽很怕老鼠。最困擾的是，牠不把老鼠咬死，任老鼠在家中跑來跑去吱吱叫，然後想到的時候再去捕捉那隻老鼠，老實說這行為，令我與我家人非常困擾。
其中帶回來的一隻老鼠還追丟了，就這樣住在我們家(囧)。
除了會帶老鼠回來以外，當然灰塵沙子或跳蚤等寄生蟲也有帶回來。
老實說，牠這麼想出去自由流浪從此不回來，我也認了不想攔阻牠。但是牠會定時回來我們家門口喵喵叫，不開門讓他進來，牠就叫到鄰居都知道。
之後我們改個方法，把門窗關緊不要讓牠再出去。結果牠就一直在家裡喵喵叫，然後開始搗蛋把東西都弄下來、破壞沙發室內房門、咬人等...現在已經學會自己開玻璃門紗窗門、破壞院子的紗窗自己跑出去，真的是關都關不住。
我自認沒有對這隻貓不好，給牠吃好睡好，帶牠去打預防針點跳蚤藥。之前為了消耗牠過剩的體力下班也撥時間陪牠玩，買玩具等。但牠一下子就會膩，之後就逗也沒甚麼反應。想說牠這麼想看外面的世界，我就帶牠出去看看，但是用貓籠裝不是用遛的，但是牠還是要出去。
請問遇到這種狀況該怎辦呢?我喜歡貓狗小動物，也願意繼續養牠。可是牠帶跳蚤及活體獵物回來的舉動，讓我家人跟我抗議，要我把牠送到其他地方去。
該怎樣制止牠想出去的念頭呢??我已經把牠結紮了阿...